📘 문제 요약
다항식 \( (x + x^2 + x^3 + x^4)^3 \)의 전개식에서 다음을 묻고 있습니다.
- \( x^{12} \)의 계수
- \( x^7 \)의 계수
- 모든 항의 계수의 합
✅ 단계별 풀이
🔵 Step 1. 다항식 구조 분석
주어진 다항식은 다음과 같습니다.
\( (x + x^2 + x^3 + x^4)^3 = (x^1 + x^2 + x^3 + x^4)^3 \)
이 전개식을 전개할 때 각 항은 다음과 같이 생성됩니다.
\( x^a \cdot x^b \cdot x^c = x^{a + b + c} \)
단, \( a, b, c \in \{1, 2, 3, 4\} \)
🔵 Step 2. 보기 항목 분석
① \( x^{12} \)의 계수:
\( a + b + c = 12 \)인 경우만 해당.
가능한 조합: \( (4, 4, 4) \) → 1개
각 항의 계수는 모두 1이므로, 계수는 1.
👉 따라서 보기 ㄱ은 틀림
② \( x^7 \)의 계수:
\( a + b + c = 7 \)인 경우를 모두 셉니다.
가능한 조합 (총 12가지):
(1,2,4), (1,4,2), (2,1,4), (2,4,1), (4,1,2), (4,2,1)
(1,3,3), (3,1,3), (3,3,1)
(2,2,3), (2,3,2), (3,2,2)
👉 따라서 계수는 12
👉 보기 ㄴ은 맞음
③ 모든 항의 계수의 합:
모든 계수의 합 = \( f(1) = (1 + 1 + 1 + 1)^3 = 4^3 = 64 \)
보기에서는 32라고 되어 있으므로 틀림
✅ 최종 정답
보기 중 옳은 것은 ㄴ 하나이므로 정답은 ②번
🧠 마무리 개념 정리
-
특정 차수의 항의 계수:
전개식에서 특정 차수가 나오게 되는 조합의 수를 세고, 각 조합의 계수를 더하면 됨. -
전체 계수의 합:
전개된 다항식의 모든 계수의 합은 \( f(1) \)을 계산하면 됨. -
핵심 정리:
조합의 경우의 수를 정확히 세는 것이 중요하고, 전개된 결과를 유도하지 않아도 구조적으로 푸는 문제.
최종 정답: \( \boxed{②} \)