📘 문제 요약
다항식 \( (x + a)(x + b)(x + 1) \)의 전개식에서
– \( x^2 \)의 계수가 7이고,
– \( x \)의 계수가 14일 때,
\( a^2 + b^2 \)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 다항식 전개
먼저 \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \) 이므로,
전체 다항식은 다음과 같이 전개됩니다.
\[ (x + a)(x + b)(x + 1) = (x^2 + (a + b)x + ab)(x + 1) \]
이것을 다시 전개하면:
\[ = x^3 + (a + b + 1)x^2 + (ab + a + b)x + ab \]
따라서 각 항의 계수는 다음과 같습니다.
- \( x^3 \)의 계수: 1
- \( x^2 \)의 계수: \( a + b + 1 \)
- \( x \)의 계수: \( ab + a + b \)
- 상수항: \( ab \)
🔵 Step 2. 조건 대입
문제에서 \( x^2 \)의 계수는 7이므로: \[ a + b + 1 = 7 \Rightarrow a + b = 6 \tag{1} \]
또한 \( x \)의 계수는 14이므로: \[ ab + a + b = 14 \tag{2} \]
🔵 Step 3. 연립방정식 풀기
식 (1)에서 \( a + b = 6 \)을 (2)에 대입: \[ ab + 6 = 14 \Rightarrow ab = 8 \tag{3} \]
🔵 Step 4. \( a^2 + b^2 \) 계산
공식 \( a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab \)를 사용합니다. \[ a^2 + b^2 = 6^2 – 2 \cdot 8 = 36 – 16 = 20 \]
🧠 마무리 개념 정리
- 다항식 전개 후 계수 비교를 위해 항별 계수를 추출하는 능력이 중요합니다.
- \( a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab \) 공식은 대수적 변형에 매우 유용한 도구입니다.
- 문제는 실질적으로 연립방정식을 통해 두 미지수의 곱과 합이 주어졌을 때, 제곱의 합을 구하는 것이었습니다.
✅ 최종 정답
\[ a^2 + b^2 = 20 \] 정답: 20