📘 문제 요약
다음과 같은 식을 간단히 하시오:
$$ \left\{ (-1)^n \cdot \frac{2a + b}{2} + (-1)^{n+1} \cdot \frac{2a – b}{2} \right\} \times \left\{ (-1)^{n+1} \cdot \frac{a + 2b}{2} + (-1)^n \cdot \frac{a – 2b}{2} \right\} $$✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 식의 구조 파악
주어진 식은 두 개의 중괄호 곱으로 구성되어 있습니다. 각각을 A와 B로 나누어 계산합니다.
첫 번째 항:
$$ A = (-1)^n \cdot \frac{2a + b}{2} + (-1)^{n+1} \cdot \frac{2a – b}{2} $$두 번째 항:
$$ B = (-1)^{n+1} \cdot \frac{a + 2b}{2} + (-1)^n \cdot \frac{a – 2b}{2} $$🔵 Step 2. \( n \)이 홀수일 때 계산
홀수이면 \( (-1)^n = -1 \), \( (-1)^{n+1} = 1 \)
첫 항:
$$ A = (-1)\cdot \frac{2a + b}{2} + (1)\cdot \frac{2a – b}{2} = \frac{-2a – b + 2a – b}{2} = \frac{-2b}{2} = -b $$두 번째 항:
$$ B = (1)\cdot \frac{a + 2b}{2} + (-1)\cdot \frac{a – 2b}{2} = \frac{a + 2b – a + 2b}{2} = \frac{4b}{2} = 2b $$전체 곱:
$$ A \cdot B = (-b)(2b) = -2b^2 $$🔵 Step 3. \( n \)이 짝수일 때 계산
짝수이면 \( (-1)^n = 1 \), \( (-1)^{n+1} = -1 \)
첫 항:
$$ A = (1)\cdot \frac{2a + b}{2} + (-1)\cdot \frac{2a – b}{2} = \frac{2a + b – 2a + b}{2} = \frac{2b}{2} = b $$두 번째 항:
$$ B = (-1)\cdot \frac{a + 2b}{2} + (1)\cdot \frac{a – 2b}{2} = \frac{-a – 2b + a – 2b}{2} = \frac{-4b}{2} = -2b $$전체 곱:
$$ A \cdot B = b \cdot (-2b) = -2b^2 $$🧠 마무리 개념 정리
- 지수 홀짝 구분: \( (-1)^n \)과 \( (-1)^{n+1} \)의 부호 변화에 유의해야 합니다.
- 분자 구조 관찰: 변수들끼리의 조합을 정확히 묶어서 단순화해야 합니다.
- 거리 또는 절댓값 표현 필요 없음: 부호 일관성이 유지되어 한 가지 정답 도출됩니다.
✅ 최종 정답
정답은 \[ \boxed{-2b^2} \Rightarrow \text{④번} \]