📘 문제 요약
다항식
\( A = (1 + x^2 + x^4)(1 – x^2 + x^4) + (1 – x)(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \)
가 주어졌을 때,
이 다항식을 제곱한 식 \( A^2 \)에서 \( x^4 \)의 계수를 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 주어진 다항식 A를 전개해보자
① 첫 번째 항:
\[ (1 + x^2 + x^4)(1 – x^2 + x^4) \]
전개하면: \[ = 1(1) + 1(-x^2) + 1(x^4) + x^2(1) + x^2(-x^2) + x^2(x^4) + x^4(1) + x^4(-x^2) + x^4(x^4) \] \[ = 1 + 0 + x^4 + x^8 = 1 + x^4 + x^8 \]
② 두 번째 항:
\[ (1 – x)(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \Rightarrow (1 – x^2)(1 + x^2)(1 + x^4) \]
\[ = (1 – x^4)(1 + x^4) = 1 – x^8 \]
🔵 Step 2. 전체 A 식 정리
\[ A = (1 + x^4 + x^8) + (1 – x^8) = 2 + x^4 \]
🔵 Step 3. A² 전개
\[ A^2 = (2 + x^4)^2 = 4 + 4x^4 + x^8 \]
🔵 Step 4. \( x^4 \)의 계수 확인
\( A^2 \)의 전개식에서 \( x^4 \)의 계수는 4입니다.
🧠 마무리 개념 정리
- 다항식 전개: 곱셈공식을 적극 활용해 빠르게 정리
- 이항정리 활용: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
- 계수 추출 시: 정확히 해당 항이 포함된 항만 확인
✅ 최종 정답
정답은 \[ \boxed{4} \] → 보기 ③번