📘 문제 요약
다항식 \( x^2 + 2x – 1 = ax(x – 1) + bx(x + 1) + c(x + 1)(x – 1) \)이 모든 실수 \(x\)에 대해 항상 성립할 때, 상수 \(a + b + c\)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 항등식의 의미
모든 실수 \(x\)에 대해 성립해야 하므로, 특정한 값을 대입해도 성립합니다. 편리한 값을 대입하여 \(a, b, c\)를 구하겠습니다.
🔵 Step 2. \(x = 0\) 대입
좌변: \( 0^2 + 2(0) – 1 = -1 \)
우변: \( a \cdot 0 \cdot (-1) + b \cdot 0 \cdot (1) + c(1)(-1) = -c \)
따라서 \( -c = -1 \Rightarrow c = 1 \)
🔵 Step 3. \(x = 1\) 대입
좌변: \( 1^2 + 2(1) – 1 = 2 \)
우변: \( a \cdot 1 \cdot 0 + b \cdot 1 \cdot 2 + c(2)(0) = 2b \)
따라서 \( 2b = 2 \Rightarrow b = 1 \)
🔵 Step 4. \(x = -1\) 대입
좌변: \( (-1)^2 + 2(-1) – 1 = -2 \)
우변: \( a(-1)(-2) + b(-1)(0) + c(0)(-2) = 2a \)
따라서 \( 2a = -2 \Rightarrow a = -1 \)
🧠 마무리 개념 정리
- 항등식은 모든 \(x\)에 대해 항상 성립하는 등식입니다.
- 미지수가 3개인 경우, 3개의 값을 대입해 연립방정식으로 풀 수 있습니다.
- 특수한 \(x\)값을 골라서 계산하는 것이 효율적입니다.
✅ 최종 정답
\( a + b + c = -1 + 1 + 1 = \boxed{1} \Rightarrow \text{정답: ④번} \)