📘 문제 요약
다음 식 \( 8^6 – 1 \)이 어떤 두 자리 자연수 \( n \)으로 나누어떨어질 때, 그러한 모든 \( n \)의 값의 합을 구하라는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. \( 8^6 – 1 \) 인수분해하기
지수를 가진 식에서 \( a^6 – 1 \) 꼴은 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다:
\[ 8^6 – 1 = (8^3)^2 – 1^2 = (8^3 – 1)(8^3 + 1) \] \[ = 511 \cdot 513 \]
이제 두 수를 소인수분해합니다.
▪️ \( 511 = 8^3 – 1 = 7 \times 73 \)
▪️ \( 513 = 8^3 + 1 = 3^2 \times 57 \)
따라서 전체 인수분해는 다음과 같습니다:
\[ 8^6 – 1 = 3^2 \cdot 7 \cdot 57 \cdot 73 \]
🔵 Step 2. 두 자리 자연수 약수 구하기
위 식에서 나올 수 있는 두 자리 약수를 나열해보면:
- \( 19 \)
- \( 21 \)
- \( 27 \)
- \( 57 \)
- \( 63 \)
- \( 73 \)
🔵 Step 3. 합 계산하기
\[ 19 + 21 + 27 + 57 + 63 + 73 = \boxed{260} \]
🧠 마무리 개념 정리
✔️ 1. \( a^n – 1 \)의 인수분해 공식
\[ a^6 – 1 = (a^3 – 1)(a^3 + 1) = (a – 1)(a^2 + a + 1)(a + 1)(a^2 – a + 1) \]
이런 다항식 인수분해는 약수 구할 때 유용하게 쓰입니다.
✔️ 2. 두 자리 자연수란?
10 이상 99 이하의 자연수를 의미합니다.
✅ 최종 정답
\[ \boxed{260} \]