📘 문제 요약
다항식 \( (a – b)c^2 + (b – c)a^2 + (c – a)b^2 \) 를 인수분해하는 과정에서,
빈칸 (가), (나), (다)에 들어갈 식을 찾는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 전체 식을 \( a \)에 대한 다항식으로 정리
주어진 식:
\[
(a – b)c^2 + (b – c)a^2 + (c – a)b^2
\]
먼저, 항을 \( a \)에 대한 항으로 정리하면 다음과 같이 됩니다.
- \((a – b)c^2 = ac^2 – bc^2\)
- \((c – a)b^2 = cb^2 – ab^2\)
이 둘을 더하면:
\[
ac^2 – bc^2 + cb^2 – ab^2 = a(c^2 – b^2) + cb^2 – bc^2
\]
따라서 전체식은 다음과 같습니다:
\[
(b – c)a^2 – (b^2 – c^2)a + bc(b – c)
\]
즉, (가) = \( b^2 – c^2 \)
🔵 Step 2. 공통인수로 묶기
위의 식에서 공통된 인수 \( (b – c) \)를 묶으면: \[ (b – c)\left[a^2 – (b + c)a + bc \right] \] 따라서 (나) = \( b + c \)
🔵 Step 3. 이차식 인수분해
\[ a^2 – (b + c)a + bc = (a – b)(a – c) \] 이므로 전체식은: \[ (b – c)(a – b)(a – c) \] 즉, (다) = \( c – a \) (보기의 순서 기준)
🧠 마무리 개념 정리
- 항등식 문제는 특정 문자에 대해 정리하는 능력이 중요합니다.
- 공통 인수 묶기 → 인수분해 → 식 비교의 흐름을 잘 익혀두면 유사 문제에 적용할 수 있습니다.
- 식에서 부호를 바꾸는 순간 실수가 많으므로 특히 조심해야 합니다.
✅ 최종 정답
(가) = \( b^2 – c^2 \), (나) = \( b + c \), (다) = \( c – a \)
따라서 정답은 ③번