무한급수의 값 구하기
다음 무한급수의 값을 구하시오:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(3n-1)(3n+2)} \]
Step 1. 부분 분수 분해
\[ \frac{3}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{A}{3n-1} + \frac{B}{3n+2} \]
양변에 \((3n-1)(3n+2)\)를 곱하면:
\[ 3 = A(3n+2) + B(3n-1) \]
전개 후 정리하면: \[ 3 = (3A + 3B)n + (2A – B) \]
계수 비교:
- \(3A + 3B = 0 \Rightarrow A = -B\)
- \(2A – B = 3\)
A = 1, B = -1 이므로, \[ \frac{3}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3n-1} – \frac{1}{3n+2} \]
Step 2. 망원급수로 변환
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3n-1} – \frac{1}{3n+2} \right) \]
전개하면 다음과 같은 망원급수 형태가 됩니다:
\[ \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} – \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} – \frac{1}{11} \right) + \cdots \]
중간 항들이 모두 소거되고, \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3n+2} \right) = \frac{1}{2} \]
최종 정답
\[ \boxed{\frac{1}{2}} \]
부분 분수의 풀이 방법으로 풀이 해주세요.