문제
\( x \)에 대한 이차방정식 \[ x^2 – (n+1)x + n^2 + 2n = 0 \] 의 두 근을 \( \alpha_n, \beta_n \)이라 할 때,
급수 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\alpha_n – 1)(\beta_n – 1)} \) 의 합을 구하여라.
풀이
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하면,
- \( \alpha_n + \beta_n = n + 1 \)
- \( \alpha_n \beta_n = n^2 + 2n \)
따라서 다음과 같이 계산할 수 있습니다:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\alpha_n – 1)(\beta_n – 1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\alpha_n \beta_n – (\alpha_n + \beta_n) + 1} \] \[ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 2n – (n+1) + 1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \] \[ = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right) = 1 \]
정답
정답은 1입니다.