곱셈 공식 활용 식의 값 구하기 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 \(a + b = 6\), \(ab = 4\)이고 \(a > b\)일 때, \((a + a^2 + a^3 + a^4) – (b + b^2 + b^3 + b^4)\)의 값을 구하는 문제입니다. 식을 직접 계산하기보다는, 식을 정리하고 곱셈 공식을 활용하여 \(a\)와 \(b\)의 합과 곱, 그리고 차를 이용하는 전략을 사용합니다.
- 식 정리: 주어진 식을 같은 차수의 항끼리 묶어 \((a – b) + (a^2 – b^2) + (a^3 – b^3) + (a^4 – b^4)\) 형태로 변형합니다.
- \(a – b\) 값 계산: 곱셈 공식 변형 \((a – b)^2 = (a + b)^2 – 4ab\)를 이용하여 \((a – b)^2\) 값을 구하고, \(a > b\) 조건을 이용하여 \(a – b\) 값을 구합니다.
- 각 항의 값 계산: \((a – b)\), \((a^2 – b^2)\), \((a^3 – b^3)\), \((a^4 – b^4)\)의 값을 각각 계산합니다. 이 과정에서 \(a + b\), \(ab\), \(a – b\)의 값을 활용합니다.
- \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\)
- \(a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b)\)
- \(a^4 – b^4 = (a^2 – b^2)(a^2 + b^2)\). 이때 \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab\)를 먼저 계산합니다.
- 최종 합 계산: 계산된 각 항의 값을 모두 더하여 최종 답을 구합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 식 정리
구하고자 하는 식을 같은 차수의 항끼리 묶어서 정리합니다.
$$ (a + a^2 + a^3 + a^4) – (b + b^2 + b^3 + b^4) $$
$$ = (a – b) + (a^2 – b^2) + (a^3 – b^3) + (a^4 – b^4) $$
Step 2: \(a – b\) 값 구하기
곱셈 공식 변형 \((a – b)^2 = (a + b)^2 – 4ab\)를 이용합니다. 주어진 조건 \(a + b = 6\), \(ab = 4\)를 대입합니다.
$$ (a – b)^2 = (6)^2 – 4(4) = 36 – 16 = 20 $$
문제에서 \(a > b\)이므로 \(a – b > 0\)입니다. 따라서,
$$ a – b = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} $$
Step 3: \(a^2 – b^2\) 값 구하기
합차 공식을 이용합니다: \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).
$$ a^2 – b^2 = (2\sqrt{5})(6) = 12\sqrt{5} $$
Step 4: \(a^3 – b^3\) 값 구하기
곱셈 공식 변형 \(a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b)\)를 이용합니다.
$$ a^3 – b^3 = (2\sqrt{5})^3 + 3(4)(2\sqrt{5}) $$
\((2\sqrt{5})^3 = 2^3 (\sqrt{5})^3 = 8 \times 5\sqrt{5} = 40\sqrt{5}\)이므로,
$$ = 40\sqrt{5} + 24\sqrt{5} = 64\sqrt{5} $$
Step 5: \(a^4 – b^4\) 값 구하기
먼저 \(a^2 + b^2\) 값을 계산합니다. \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab\).
$$ a^2 + b^2 = (6)^2 – 2(4) = 36 – 8 = 28 $$
이제 합차 공식을 이용하여 \(a^4 – b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 – b^2)\) 값을 계산합니다. Step 3에서 구한 \(a^2 – b^2 = 12\sqrt{5}\)를 이용합니다.
$$ a^4 – b^4 = (28)(12\sqrt{5}) = 336\sqrt{5} $$
Step 6: 최종 합 계산
Step 1에서 정리한 식에 각 항의 값을 대입하여 더합니다.
$$ (a – b) + (a^2 – b^2) + (a^3 – b^3) + (a^4 – b^4) $$
$$ = 2\sqrt{5} + 12\sqrt{5} + 64\sqrt{5} + 336\sqrt{5} $$
\(\sqrt{5}\)로 묶어서 계수들을 더합니다.
$$ = (2 + 12 + 64 + 336)\sqrt{5} $$
$$ = 414\sqrt{5} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 곱셈 공식과 그 변형을 능숙하게 활용하여 주어진 조건으로부터 필요한 식의 값을 유도하고, 이를 통해 최종적인 식의 값을 계산하는 능력을 평가합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 곱셈 공식:
- 합차 공식: \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\)
- 제곱의 합/차 변형: \((a – b)^2 = (a + b)^2 – 4ab\), \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab\)
- 세제곱의 합/차 변형: \(a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b)\)
- 거듭제곱의 계산: 제곱근을 포함한 식의 거듭제곱 계산 (\( (k\sqrt{m})^n = k^n (\sqrt{m})^n \))을 정확히 할 수 있어야 합니다.
- 식의 재구성: 복잡한 식을 간단한 항들의 합 또는 차로 재구성하여 단계적으로 계산하는 전략이 유용합니다.
이 문제에서는 주어진 식을 \( (a^k – b^k) \) 형태의 항들의 합으로 변형하고, 각 항의 값을 곱셈 공식을 활용하여 구한 뒤 모두 더하는 방식으로 해결했습니다. 합과 곱이 주어졌을 때 차, 제곱의 합/차, 세제곱의 합/차 등을 구하는 다양한 곱셈 공식 변형을 숙지하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
⑤ \(414\sqrt{5}\)