다항식 나눗셈과 나머지 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 다항식 \(P(x)\)를 \(x + 2\)로 나누었을 때의 몫과 나머지를 알려주고, 이 다항식 \(P(x)\)를 \(x^2 + 1\)로 나누었을 때의 나머지를 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위한 전략은 다음과 같습니다.
- 다항식 \(P(x)\) 구하기: 다항식 나눗셈의 기본 원리 \(A = BQ + R\) (나누어지는 식 = 나누는 식 × 몫 + 나머지)을 이용하여 첫 번째 나눗셈 조건으로부터 다항식 \(P(x)\)를 명시적으로 구합니다.
- 다항식 나눗셈 실행: 구해진 다항식 \(P(x)\)를 \(x^2 + 1\)로 직접 나누어 나머지를 찾습니다. 이때 다항식의 나눗셈 방법을 사용합니다.
- 나머지 확인: 다항식 나눗셈 결과로 얻어진 나머지가 나누는 식 \(x^2 + 1\)보다 차수가 낮은지 확인합니다. (2차식으로 나누었으므로 나머지는 1차 이하의 식이 됩니다.)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 다항식 \(P(x)\) 구하기
다항식 \(P(x)\)를 \(x + 2\)로 나누었을 때의 몫이 \(x^2 – 4x – 3\)이고 나머지가 8이라고 주어졌습니다. 다항식 나눗셈의 관계식 \(P(x) = (\text{나누는 식}) \times (\text{몫}) + (\text{나머지})\)를 이용하여 \(P(x)\)를 나타냅니다.
$$ P(x) = (x + 2)(x^2 – 4x – 3) + 8 $$
이제 이 식을 전개하여 \(P(x)\)를 간단한 다항식 형태로 만듭니다.
$$ P(x) = x(x^2 – 4x – 3) + 2(x^2 – 4x – 3) + 8 $$
$$ = (x^3 – 4x^2 – 3x) + (2x^2 – 8x – 6) + 8 $$
동류항끼리 정리합니다.
$$ P(x) = x^3 + (-4 + 2)x^2 + (-3 – 8)x + (-6 + 8) $$
$$ P(x) = x^3 – 2x^2 – 11x + 2 $$
Step 2: 다항식 나눗셈 실행 (\(P(x) \div (x^2 + 1)\))
Step 1에서 구한 \(P(x) = x^3 – 2x^2 – 11x + 2\)를 \(x^2 + 1\)로 나눕니다. 다항식의 나눗셈 과정을 따릅니다.
x – 2 <-- 몫
____________
x²+1 | x³ - 2x² - 11x + 2
|-(x³ + x)
|___________
| -2x² - 12x + 2
| -(-2x² - 2)
| ____________
| -12x + 4 <-- 나머지
나눗셈 과정 설명:
- 최고차항을 맞추기 위해 \(x^2 + 1\)에 \(x\)를 곱하여 \(x^3 + x\)를 얻고, \(P(x)\)에서 빼줍니다.
- 빼기 결과 \(-2x^2 – 12x + 2\)를 얻습니다.
- 최고차항을 맞추기 위해 \(x^2 + 1\)에 \(-2\)를 곱하여 \(-2x^2 – 2\)를 얻고, 이전 결과에서 빼줍니다.
- 최종적으로 \(-12x + 4\)를 얻습니다.
Step 3: 나머지 확인
나눗셈 결과로 얻어진 나머지는 \(-12x + 4\)입니다. 이 나머지는 1차식으로, 나누는 식 \(x^2 + 1\)의 차수인 2보다 낮습니다. 따라서 이 식이 최종적인 나머지입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식의 나눗셈에 대한 기본적인 이해를 요구합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 다항식 나눗셈의 원리: 임의의 다항식 \(A(x)\)를 다항식 \(B(x)\) (\(B(x) \neq 0\))로 나누었을 때, 몫을 \(Q(x)\)라 하고 나머지를 \(R(x)\)라 하면 다음과 같은 항등식이 성립합니다.
$$ A(x) = B(x)Q(x) + R(x) $$
여기서 \(R(x)\)의 차수는 \(B(x)\)의 차수보다 작거나, \(R(x) = 0\)입니다. - 다항식의 나눗셈 방법 (세로셈): 숫자의 나눗셈과 유사하게, 다항식을 내림차순으로 정리하고 최고차항의 계수를 맞추어 가며 빼는 과정을 반복하여 몫과 나머지를 구합니다.
- 나머지의 차수: 나누는 다항식의 차수가 \(n\)이면, 나머지의 차수는 \(n-1\) 이하입니다. 예를 들어, 2차식으로 나누면 나머지는 1차식이거나 상수가 됩니다.
이 문제에서는 첫 번째 나눗셈 정보를 이용하여 나누어지는 다항식 \(P(x)\)를 구하고, 구해진 \(P(x)\)를 두 번째 나누는 식으로 직접 나누어 나머지를 찾는 표준적인 풀이 방법을 사용했습니다.
✅ 최종 정답
③ \(-12x + 4\)