고1수학 – 발전 – 12202325 – 43번

Step 1: 다항식 직접 나눗셈 수행

다항식 $x^4+0x^3+(a^2–a–1)x^2+(-a^2–b)x–b^3$을 $x^2–x–a$로 나눕니다. (없는 3차항의 계수는 0으로 처리합니다.)

나눗셈 결과, 몫은 $x^2+x+a^2$이고 나머지는 $(a–b)x+(a^3–b^3)$입니다.

Step 2: 나머지 비교

Step 1에서 계산된 나머지가 문제에서 주어진 나머지 $3x+9$와 같아야 합니다.

$$(a–b)x+(a^3–b^3)=3x+9$$

Step 3: 계수 비교를 통한 연립 방정식 설정

위 등식은 $x$에 대한 항등식이므로, 양변의 $x$의 계수와 상수항이 각각 같아야 합니다.

$x$의 계수 비교:

$$a–b=3\cdots (1)$$

상수항 비교:

$$a^3–b^3=9\cdots (2)$$

Step 4: $ab$ 값 계산

곱셈 공식 변형 $a^3–b^3=(a–b{)}^3+3ab(a–b)$를 이용합니다. 식 (1)과 (2)에서 구한 값을 이 공식에 대입합니다.

$$9=(3{)}^3+3ab(3)$$

$$9=27+9ab$$

$9ab$에 대해 정리하면,

$$9ab=9–27=-18$$

따라서 $ab$의 값은,

$$ab=\frac{-18}{9}=-2$$