단체 입장권 구매 비용 비교 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 수목원 입장 시, 실제 인원이 단체 할인 기준(50명) 미만이더라도 기준 인원(50명)의 단체 입장권을 구매하는 것이 개별 입장권을 구매하는 것보다 더 유리해지는(비용이 적게 드는) 최소 인원수를 구하는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 미지수 설정: 실제 입장하는 인원수를 미지수 \(x\)명으로 설정합니다. 문제에서 “50명 미만의 단체”라고 했으므로 \(x < 50\)이고, 인원수이므로 \(x\)는 자연수입니다.
- 각 경우의 비용 계산:
- 개별 입장권 구매 시 비용: \(x\)명이 각각 2000원씩 내는 경우의 총 비용을 계산합니다.
- 50명 단체 입장권 구매 시 비용: 실제 인원수 \(x\)와 관계없이, 50명에 대한 단체 할인 요금(1인당 1500원)을 적용하여 총 비용을 계산합니다.
- 부등식 설정: “50명의 단체 입장권을 사는 것이 유리하다”는 것은 “50명 단체 입장권 비용이 \(x\)명의 개별 입장권 비용보다 작다”는 의미이므로, 이를 \(x\)에 대한 일차부등식으로 나타냅니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최소 인원 결정: 부등식의 해를 만족하면서 문제의 조건(\(x < 50\))을 만족하는 가장 작은 자연수 \(x\) 값을 찾습니다. 이 값이 단체권을 사는 것이 유리해지기 시작하는 최소 인원수이며, 문제에서 "몇 명 이상"이라고 물었으므로 이 값이 답이 됩니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정
실제 입장하는 인원수를 \(x\)명이라고 설정합니다. 문제 조건에 따라 \(x\)는 50 미만의 자연수입니다.
Step 2: 개별 입장권 구매 시 총 비용 계산
1인당 입장료가 2000원이므로, \(x\)명이 개별적으로 입장권을 구매하면 총 비용은 다음과 같습니다.
$$ \text{개별 입장 비용} = 2000 \times x = 2000x \text{ (원)} $$
Step 3: 50명 단체 입장권 구매 시 총 비용 계산
50명 이상의 단체인 경우 1인당 입장료가 1500원입니다. 비록 실제 인원이 50명 미만(\(x < 50\))이라도, 50명짜리 단체 입장권을 구매하는 상황을 가정합니다. 이 경우 총 비용은 50명 전체에 대해 할인된 요금을 적용합니다.
$$ \text{50명 단체권 비용} = 50 \times 1500 = 75000 \text{ (원)} $$
Step 4: 부등식 설정
문제에서 “50명의 단체 입장권을 사는 것이 유리한 경우”를 묻고 있습니다. “유리하다”는 것은 비용이 더 적게 든다는 의미입니다. 따라서 다음 부등식을 세울 수 있습니다.
$$ (\text{50명 단체권 비용}) < (\text{개별 입장 비용}) $$
$$ 75000 < 2000x $$
Step 5: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(75000 < 2000x\)를 \(x\)에 대해 풉니다.
양변을 2000으로 나누어 \(x\)의 범위를 구합니다. 2000은 양수이므로 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ \frac{75000}{2000} < x $$
분수를 간단히 합니다.
$$ \frac{75}{2} < x $$
\(\frac{75}{2}\)를 소수로 나타내면 37.5입니다.
$$ 37.5 < x $$
즉, \(x > 37.5\) 입니다.
Step 6: 최소 인원 결정
부등식의 해는 \(x > 37.5\) 입니다. 문제에서 \(x\)는 입장하는 인원수이므로 자연수여야 합니다.
따라서 37.5보다 큰 가장 작은 자연수는 38입니다.
즉, 38명 이상부터 (50명 미만인 경우) 50명의 단체 입장권을 구매하는 것이 개별 입장권을 구매하는 것보다 비용이 적게 들어 유리합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 일차부등식의 활용 문제로, 특히 실제 수량과 할인 기준 수량이 다를 때 비용을 비교하여 최적의 선택을 하는 상황을 다룹니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 비용 비교: 두 가지 이상의 선택지에 대한 총 비용을 각각 계산하고 비교합니다.
- 단체 할인 조건: 할인 적용 기준이 되는 인원수와 실제 인원수가 다를 때, 어떤 방식으로 요금을 계산하는 것이 더 유리한지 판단해야 합니다. 이 문제에서는 실제 인원(\(x\))이 단체 기준(50명)보다 적더라도, 기준 인원(50명)으로 단체 할인을 적용받는 비용과 실제 인원(\(x\))의 개별 비용을 비교했습니다.
- 일차부등식 설정 (“유리하다”): 비용 문제에서 “유리하다”는 조건을 “비용이 더 적다”로 해석하여 부등식 ‘<'를 사용합니다.
- 일차부등식 풀이 및 자연수 해 찾기: 부등식의 성질을 이용하여 해의 범위를 구하고, 문제의 맥락(인원수)에 맞는 가장 작은 자연수 해를 찾습니다.
이러한 유형은 입장료, 교통비 등 고정 비용이나 할인 정책이 있는 상황에서 자주 등장하며, 부등식을 이용하여 경제적인 결정을 내리는 데 도움을 줄 수 있습니다.
✅ 최종 정답
④ 38명