설탕물 농도 일차부등식 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 초기 설탕물에 물을 추가하여 농도를 변화시킬 때, 특정 농도 이상을 유지하기 위해 추가할 수 있는 물의 최대 양을 구하는 일차부등식 활용 문제입니다.
- 초기 상태 파악: 처음 설탕물의 총량과 설탕의 양을 계산합니다.
- 미지수 설정: 더 넣는 물의 양을 미지수 \(x\) g으로 설정합니다.
- 변화 후 상태 표현: 물을 추가한 후의 설탕물의 총량과 설탕의 양을 \(x\)를 이용하여 나타냅니다. (물을 추가해도 설탕의 양은 변하지 않습니다.)
- 농도 공식 적용 및 부등식 설정: 변화 후 설탕물의 농도를 농도 공식을 이용하여 \(x\)에 대한 식으로 나타내고, 이 농도가 10% 이상이어야 한다는 조건을 이용하여 일차부등식을 세웁니다.
- 부등식 풀이: 세워진 일차부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 값의 범위를 구합니다.
- 최대 물의 양 결정: 구해진 \(x\)의 범위가 추가할 수 있는 물의 양의 범위이며, 문제에서 “최대 몇 g”인지 물었으므로 범위의 최댓값을 답합니다.
기본 공식:
$$ (\text{농도}) (\%) = \frac{(\text{용질의 양})}{(\text{용액의 양})} \times 100 $$
$$ (\text{용질의 양}) = \frac{(\text{농도})}{100} \times (\text{용액의 양}) $$
(여기서 용질은 설탕, 용액은 설탕물입니다.)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 초기 설탕물의 상태 파악
물 300 g에 설탕 50 g을 넣어 설탕물을 만들었습니다.
- 초기 설탕의 양 = 50 g
- 초기 설탕물의 양 (용액의 양) = 물의 양 + 설탕의 양 = 300 g + 50 g = 350 g
Step 2: 미지수 설정
더 넣는 물의 양을 \(x\) g이라고 설정합니다. 물의 양은 0 이상이므로 \(x \ge 0\)입니다.
Step 3: 물 추가 후의 설탕물 상태 표현
물을 \(x\) g 더 넣으면 설탕물의 총량은 변하지만, 설탕의 양은 그대로 유지됩니다.
- 변화 후 설탕의 양 = 50 g
- 변화 후 설탕물의 양 = (초기 설탕물의 양) + (추가한 물의 양) = 350 g + \(x\) g = \( (350 + x) \) g
Step 4: 농도 공식 적용 및 부등식 설정
물 추가 후 설탕물의 농도가 10% 이상이 되어야 합니다. 농도 공식을 이용하여 부등식을 세웁니다.
$$ (\text{변화 후 농도}) = \frac{(\text{변화 후 설탕의 양})}{(\text{변화 후 설탕물의 양})} \times 100 \ge 10 $$
$$ \frac{50}{350 + x} \times 100 \ge 10 $$
Step 5: 부등식 풀이
세워진 부등식 \(\frac{5000}{350 + x} \ge 10\)을 \(x\)에 대해 풉니다.
양변에 \((350 + x)\)를 곱합니다. \(x \ge 0\)이므로 \(350 + x\)는 양수이고, 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ 5000 \ge 10(350 + x) $$
우변의 괄호를 풀어줍니다.
$$ 5000 \ge 3500 + 10x $$
상수항 3500을 좌변으로 이항합니다.
$$ 5000 – 3500 \ge 10x $$
$$ 1500 \ge 10x $$
양변을 10으로 나눕니다. 10은 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$ \frac{1500}{10} \ge x $$
$$ 150 \ge x $$
즉, \(x \le 150\) 입니다.
Step 6: 최대 물의 양 결정
부등식의 해는 \(x \le 150\)입니다. 또한, Step 2에서 \(x \ge 0\)이므로, 추가할 수 있는 물의 양 \(x\)의 범위는 \(0 \le x \le 150\)입니다.
문제에서 “최대 몇 g의 물을 더 넣을 수 있는가?”라고 물었으므로, \(x\)가 가질 수 있는 가장 큰 값은 150입니다.
따라서 최대 150 g의 물을 더 넣을 수 있습니다.
해설 이미지의 부등식 \(\color{red}{50 \ge \frac{10}{100} \times (350+x)}\) 은 농도 공식에서 \(\times 100\)을 생략하고 농도 10%를 분수 \(\frac{10}{100}\)으로 표현하여 용질의 양을 비교하는 방식으로 세워진 것입니다. \((\text{용질의 양}) \ge (\text{최소 농도}) \times (\text{용액의 양})\) 형태이며, 결과는 동일합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 용액의 농도 개념을 이용하여 일차부등식을 세우고 푸는 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 농도 공식: \((\text{농도}) (\%) = \frac{(\text{용질의 양})}{(\text{용액의 양})} \times 100\). 용질(설탕, 소금 등)과 용액(설탕물, 소금물 등)의 양을 정확히 파악하는 것이 중요합니다.
- 용질의 양 불변: 용매(물)를 추가하거나 증발시켜도 용액 속 용질의 양은 변하지 않습니다. (단, 용질을 추가하는 경우는 제외)
- 용액의 양 변화: 용매나 용질을 추가하면 용액의 총량은 변합니다.
- 부등식 설정: “농도가 ~% 이상/이하”라는 조건을 농도 공식을 이용하여 부등식으로 올바르게 표현해야 합니다.
- 일차부등식 풀이: 분수 형태의 부등식을 풀 때는 양변에 분모를 곱하여 정리하는 것이 편리합니다. 이때 분모가 양수인지 확인하여 부등호 방향을 결정해야 합니다. (용액의 양은 항상 양수입니다.)
농도 문제는 용질의 양과 용액의 양 변화를 정확히 추적하고 농도 공식을 올바르게 적용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
③ 150g