급수 수렴과 수열 극한 문제 풀이
수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 급수
$$ (a_1 – 2) + \left(a_2 – \frac{3}{2}\right) + \left(a_3 – \frac{4}{3}\right) + \left(a_4 – \frac{5}{4}\right) + \dots $$
가 수렴할 때, \(\lim_{n\to\infty} a_n\)의 값을 구하여라.
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 급수가 수렴한다는 조건을 이용하여, 원래 수열 \(\{a_n\}\)의 극한값을 구하는 문제입니다. 급수의 수렴과 그 일반항의 극한 사이의 중요한 관계를 이용하는 것이 핵심입니다.
- 급수의 일반항 찾기: 주어진 급수의 \(n\)번째 항(\(b_n\))이 어떤 형태인지 파악합니다.
- 급수 수렴 조건 적용: 급수 \(\sum b_n\)이 수렴하면, 그 일반항 \(b_n\)의 극한값은 반드시 0이라는 성질 (\(\lim_{n\to\infty} b_n = 0\))을 적용합니다.
- \(a_n\) 표현 및 극한 계산: 일반항 \(b_n\)의 식을 이용하여 \(a_n\)을 \(b_n\)과 \(n\)에 대한 식으로 나타냅니다. 그 다음, 극한의 성질을 이용하여 \(\lim_{n\to\infty} a_n\)의 값을 계산합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 급수의 일반항 \(b_n\) 찾기
주어진 급수의 각 항을 살펴봅니다.
- 첫 번째 항 (\(n=1\)): \(a_1 – 2 = a_1 – \frac{1+1}{1}\)
- 두 번째 항 (\(n=2\)): \(a_2 – \frac{3}{2} = a_2 – \frac{2+1}{2}\)
- 세 번째 항 (\(n=3\)): \(a_3 – \frac{4}{3} = a_3 – \frac{3+1}{3}\)
- 네 번째 항 (\(n=4\)): \(a_4 – \frac{5}{4} = a_4 – \frac{4+1}{4}\)
이 규칙에 따라, 급수의 \(n\)번째 항(일반항) \(b_n\)은 다음과 같습니다.
$$ b_n = a_n – \frac{n+1}{n} $$
Step 2: 급수 수렴 조건 적용
문제에서 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n – \frac{n+1}{n}\right)\)이 수렴한다고 주어졌습니다.
급수가 수렴하면 그 일반항의 극한값은 반드시 0이어야 합니다.
$$ \lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \left(a_n – \frac{n+1}{n}\right) = 0 $$
Step 3: \(a_n\)을 \(b_n\)으로 표현하기
Step 1에서 구한 일반항의 식 \(b_n = a_n – \frac{n+1}{n}\)을 \(a_n\)에 대해 정리합니다.
$$ a_n = b_n + \frac{n+1}{n} $$
Step 4: \(\lim_{n\to\infty} a_n\) 계산
이제 수열 \(\{a_n\}\)의 극한값을 계산합니다. Step 3에서 얻은 식의 양변에 극한을 취합니다.
$$ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(b_n + \frac{n+1}{n}\right) $$
극한의 합의 성질에 따라 각 항의 극한값의 합으로 분리할 수 있습니다.
$$ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n + \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} $$
Step 2에서 급수가 수렴하므로 \(\lim_{n\to\infty} b_n = 0\) 임을 알고 있습니다.
이제 \(\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n}\) 값을 계산합니다. 분모와 분자를 최고차항인 \(n\)으로 나눕니다.
$$ \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{n}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{1} $$
\(n \to \infty\)일 때 \(\frac{1}{n} \to 0\)이므로,
$$ = \frac{1 + 0}{1} = 1 $$
따라서, \(\lim_{n\to\infty} a_n\)의 값은 다음과 같습니다.
$$ \lim_{n\to\infty} a_n = 0 + 1 = 1 $$
Step 5: 다른 풀이 (극한의 성질 이용)
Step 2에서 \(\lim_{n\to\infty} \left(a_n – \frac{n+1}{n}\right) = 0\)임을 알았습니다.
수열 \(\left\{\frac{n+1}{n}\right\}\)의 극한값이 \(\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = 1\)로 수렴합니다.
두 수열 \(\{a_n – \frac{n+1}{n}\}\)과 \(\{\frac{n+1}{n}\}\)이 모두 수렴하므로, 두 수열의 합인 수열 \(\{a_n\}\)도 수렴합니다.
(\(\left(a_n – \frac{n+1}{n}\right) + \frac{n+1}{n} = a_n\))
극한의 성질에 따라,
$$ \lim_{n\to\infty} \left(a_n – \frac{n+1}{n}\right) = \lim_{n\to\infty} a_n – \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} $$
이 값이 0이므로,
$$ \lim_{n\to\infty} a_n – 1 = 0 $$
따라서,
$$ \lim_{n\to\infty} a_n = 1 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 급수의 수렴과 일반항의 극한 사이의 관계를 이용하는 기본적인 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 급수의 수렴 조건: 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\)이 수렴하면, 반드시 그 일반항 \(b_n\)의 극한값은 0이어야 합니다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} b_n \text{ 이 수렴하면 } \lim_{n\to\infty} b_n = 0 $$
(주의: 역은 성립하지 않습니다. 즉, \(\lim_{n\to\infty} b_n = 0\)이라고 해서 급수가 반드시 수렴하는 것은 아닙니다. 예를 들어 \(\sum \frac{1}{n}\)은 발산합니다.) - 수열의 극한값 계산:
- 극한의 기본 성질: 합, 차, 곱, 나눗셈(분모 0 제외)에 대해 극한을 분리하여 계산할 수 있습니다.
- \(\frac{\infty}{\infty}\) 꼴 극한: 분모의 최고차항으로 분모와 분자를 나누어 계산합니다.
- \(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0\) (단, \(p > 0\))
급수가 수렴한다는 조건이 주어지면, 즉시 그 급수의 일반항의 극한이 0임을 이용하여 문제 해결의 실마리를 찾는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(1\)